Hallo Beo,
Ich bin kein KFZ-Mechatroniker, hätte aber vielleicht einen neuen Ansatz für dein Problem. An ein Problem "kalte Lötstelle" glaube ich nicht so richtig. Du schreibst, wenn er an ist läuft er (nehme an, wie ein Schweizer Präzisionsuhrwerk ). Du bekommst ihn nicht an, wenn er warm ( eher heiß ) ist. Da hast du doch eindeutig ein thermisches Problem. Ich bin von 2004-2011 einen T25 D4D- Kombi gefahren und hatte nach der Garantiezeit eins zu eins dein Problem. Auto im Sommer nach längerer Fahrt ausgemacht. Neu starten ohne Erfolg. Stand er eine Weile in der Tiefgarage oder so, war alles kein Problem. Ursache war letztendlich der Anlasser. Toyota hatte um diese Zeit das eine oder andere Problem mit Anlassern. So gab es für meinen Avensis einen neuen modifizierten Anlasser, auch beim Land Cruiser mit V8 gab es wohl größere Probleme, weil der Anlasser da wohl oben im "V" lag und auch sehr heiß wurde. Auch beim Avensis lag er recht dicht am Motorblock und wurde recht heiß. Durch die Ausdehnungen (Wärmelehre) läuft der Anlasser schwerer. Er läuft zwar, kann den Motor aber nicht auf die nötige Umdrehungszahl bringen um ihn zu starten. Ist er dann wieder abgekühlt, läuft er wieder leichter und es reicht dann wieder. Der "Chefmechaniker" bei meinem FTH hatte mittels Messgerät an der Servicebuchse beim Starten die Drehzahl des Anlassers gecheckt und festgestellt, dass die halt so an der "Kotzgrenze" war.
Bei mir war das Thema dann mit einem neuen Anlasser erledigt. Vielleicht lässt du deinen Spezi mal in die Richtung suchen.
Ansonsten wird es hier im Forum schwer mit Hilfe werden , da hier fast alle zur Fanfamilie des E210 (und das fast ausschließlich als Hybrid) gehören.
Gruß und viel Erfolg für die Reparatur.